Arquimediana

La prestigiosa revista (disculpeu el tòpic) Historia Mathematica m’acaba de publicar un article sobre la proposició 9 del llibre I de Sobre l’esfera i el cilindre d’Arquimedes. Una petita alegria. No puc penjar aquí l’article, però si algú volgués fullejar-lo només cal que m’envieu un email (en qualsevol cas, és un tema molt específic i d’interès limitat, i em sembla que amb l’abstract de la revista us en podeu fer una idea).

La tradició diu que un soldat de Marcel va matar Arquimedes durant el saqueig de Siracusa del 212 aC, malgrat les ordres que havia donat el propi Marcel de capturar-lo viu. Les versions difereixen, però la més estesa diu que estava meditant sobre algun problema i fent traces a la sorra del terra. Valeri Màxim és la font més antiga (Factorum et dictorum memorabilium Libri 9, VIII, 7) que relata la mort d’Arquimedes i afirma que va protegir els seus diagrames cridant al soldat que el mataria: noli obsecro istum disturbare, que alguns van adaptar més èpicament com noli turbare circulos meos (Tzetzes, en canvi, ho recita més encertadament en grec: ᾿ Απόστηθι, ὦ ἄνθρωπε, τοῦ διαγράμματός μου. Cal notar que de la primera paraula, ᾿ Απόστηθι, deriva el nostre apostatar, literalment, allunyar). La idea que Arquimedes pogués realitzar els seus diagrames a la sorra del terra és absurda. L’error prové, segurament, d’una interpretació equivocada de Valeri Màxim, que diu textualment que Arquimedes feia els seus diagrames “in terra”, en lloc de “in pulvere” com hauria d’haver dit. Això és així perquè, tal com diu Livi i corrobora Ciceró, els matemàtics grecs dibuixaven els seus diagrames en una mena de safata plena de sorra o pols fina anivellada. El material que omplia la safata s’anomenava pulvis. Per això mateix un nom que designava els matemàtics a l’antiguitat era el de pulvis eruditus.

La marca d’aigua o filigrana és una imatge o patró dibuixat de forma tènue en el paper i que normalment només es pot veure quan la llum passa al seu través¹. Aquesta marca identifica el fabricant i la data de fabricació. Per això mateix, la filigrana és molt interessant per a la datació de manuscrits antics, perquè dóna un terminus post quem per l’inici de la seva redacció.

La darrera visita que he fet a la biblioteca de l’Escorial, el passat 19 de juliol, ha estat centrada en l’estudi de la filigrana del meu manuscrit, el f-iii-9, com sabeu, una traducció llatina de les obres d’Arquimedes i del seu comentador Eutoci. L’única informació que tenia sobre el manuscrit era de Marshall Clagett que, en la seva monumental Archimedes in the Middle Ages, volum III, p. 329, analitza succintament el manuscrit. Sembla que és una còpia d’un altre manuscrit que es troba a la biblioteca marciana de Venècia de data discutida, però del segle xv. Això concorda amb el fet que el propietari del meu manuscrit, Diego Hurtado de Mendoza, es trobava a Venècia entre el 1539 i el 1546, on era ambaixador de l’emperador Carles V i, per tant, podia haver demanat i fet copiar el manuscrit. De fet, durant aquesta estada, Mendoza va fer copiar una gran quantitat de manuscrits d’aquesta biblioteca.

Per a confirmar aquesta hipòtesi, Clagett va demanar a Gregorio de Andrés, bibliotecari de l’Escorial el 1979, que mires les marques d’aigua i les comparés amb les del Briquet, la bíblia de la filigrana (en conté més de 40000, curosament organitzades per temes i èpoques), Les filigranes, dictionnaire historique des marques de papier dès leur apparition vers 1282 jusqu’en 1600. Sembla que el pare Gregorio va arribar a la conclusió que l’obra va ser copiada entre el 1530 i el 1550, “more or less”, malgrat que cap filigrana no coincidia exactament amb les de Briquet. Amb aquestes dades, Clagett arriba a la conclusió que pot posar un terminus ante quem en el 1545, perquè els registres de préstec de la biblioteca marciana no contenen aquest manuscrit entre els que Mendoza va treure després del 1545. Els registres de préstec de la marciana anteriors al 1545 s’han destruït, per tant, la conclusió que Mendoza va treure el llibre entre el 1539 i el 1545 tampoc no és definitiva (de fet, no està demostrat que el meu manuscrit sigui una còpia precisament del marcià, cosa que hauré d’investigar). En qualsevol cas, l’anàlisi de les filigranes del meu manuscrit poden descartar aquesta hipòtesi (si el paper és posterior a aquestes dates), o bé, poden recolzar-la, però sense demostrar-la.

Parlo de filigranes, i no de filigrana, perquè el meu manuscrit conté tres filigranes ben diferenciades, com ja havia informat el pare Gregorio a Marshall Clagett, unes sagetes creuades coronades amb una estrella, una àncora també coronada amb un estel i una ballesta coronada amb la flor de lis. Aquestes són filigranes semblants a les del meu manuscrit, en el mateix ordre:

La informació del pare Gregorio només és incorrecta en el cas d’alguns dels folis, a banda de l’errata evident dels folis 193-198:

El fet que els fulls amb filigrana ballesta i àncora es barregin pot indicar que el copista o traductor devia tenir els dos papers barrejats i els prenia indistintament. En canvi el paper amb filigrana doble sageta sembla haver-se utilitzat a part.

Les dates pels models que el pare Gregorio va confrontar van del 1524-1530 (àncora), 1533 (ballesta) i 1554 (la doble sageta), tots procedents d’Udine. Com veiem, el darrer cau fora de la datació que dóna Clagett per la còpia (1539-1545). Les meves preferències, després de la confrontació de filigranes són diferents en el cas de la doble sageta i, especialment, en el de la ballesta. Si el pare Gregorio es decanta pel que porta el número 493, jo crec que es tracta del 492, del 1522. Pel que fa a la ballesta, crec que la deducció del pare Gregorio és incorrecta, ja que el model que pren és el 761, del 1533, mentre que el 760, del 1523, i especialment, el 762, fet entre 1538-43, tenen moltes més semblances.

En qualsevol cas, la datació no és molt diferent de la que dóna el pare Gregorio. Sembla que si tenim en compte que tots els models per la doble sageta són posteriors al 1543 (de fet, es van fabricar entre el 1543 i el 1562), és bastant difícil que es compleixi el que diu Clagett, que Mendoza va demanar i fer copiar el manuscrit abans del 1545. Especialment si tenim en compte que el text amb el qual el copista omple aquest paper correspon als primers 93 folis de l’obra: és gairebé impossible que el copista enllestís tota l’obra durant el 1544. Si això és així, sembla difícil de creure que la còpia d’Arquimedes de la marciana sigui la font de la qual es va copiar el meu manuscrit. Però, si aquesta no va ser, quina?

Hauré de confrontar ambdós manuscrits abans de treure conclusions precipitades. Cap a Venècia falta gent.

1. Modernament han pràcticament desaparegut, però recordo que el paper Galgo en tenia una que era precisament un gos llebrer. [↑]

La biblioteca d’El Escorial es va formar a partir bàsicament de tres fons o biblioteques personals. El fons més important és el de Diego Hurtado de Mendoza. Aquest és una personalitat singular, un autèntic humanista; excepcionalment culte (entre d’altres, dominava l’àrab, el llatí i el grec), poeta, traductor a estones lliures i, segons diuen, de caràcter impulsiu (la seva força bruta proverbial l’ajudava a mantenir-lo; conten diverses anècdotes que en donen fe, com la que diu que va subjectar un toro amb les seves mans).

El manuscrit llatí d’Arquimedes que estic tractant pertanyia a la seva biblioteca, cosa que dóna una idea de la seva gran afició a la ciència, la ciència en majúscules. N’és una altra prova el fet que tingués un altre manuscrit grec bellíssim amb les obres d’Arquimedes, del qual, l’any passat, pel Congrés internacional de Matemàtiques celebrat a Madrid, se’n va fer una edició facsímil de 1600 exemplars per repartir entre convidats i institucions. No es limitava a col·leccionar manuscrits científics (i de tot tipus), també s’atrevia a traduir-los “al romance”; per exemple, El Escorial guarda una traducció del propi Mendoza de la Mecànica d’Aristòtil.

Els manuscrits que tenen el seu origen en la biblioteca de Mendoza es reconeixen per aquesta signatura, que sembla va ser posada per un secretari seu (aquesta, concretament, és la del meu manuscrit):

L’origen d’aquesta magnífica biblioteca de Mendoza es troba en les seves llargues estades a Itàlia, especialment en la seva estada a Venècia com a ambaixador, entre el 1538 i el 1547, durant la celebració del Concili de Trento, on era representant de l’emperador. Després va ser substituït, sembla que pel seu mal caràcter; es coneguda la seva amenaça al cardenal de Santa Croce que el tiraria al riu si clausurava el Concili abans d’hora. El rei, cansat del seu comportament, va decidir exiliar-lo a Granada després d’una baralla amb un altre noble. Mendoza va mirar que el perdonés donant la biblioteca abans de morir. En una carta a Jerónimo Zurita ho diu així: “yo ando juntando mis libros, y embiándolos a Alcalá … que su Magestad se queria servir dellos, y mandarlos ver, para ponellos en el Escurial; y paréceme que tiene razón, porque aquella es la mas sumptuosa fábrica antigua, y moderna que yo he visto, y no me parece que le falta otra parte, sino poner en ella la mas sumptuosa librería del Mundo.” En qualsevol cas, no trobava encertada la política de recerca de llibres: “el camino de buscallos me parece que va errado, porque no saben a donde los han de hallar, y los buscan a tiento; yo diré mi opinión algun dia …” Però no va tenir temps de dir-la. Els seus llibres van entrar a El Escorial només després de la seva mort el 1575, concretament el 30 d’Abril de 1576.

Mendoza procurava fer copiar tots els manuscrits desembarcats a Itàlia, que provenien molts de l’actual Turquia i dels monestirs grecs. Las antigüedades de España diuen que “deste gran amor (pels llibres)” va aconseguir “insignes autores griegos que antes no teníamos: pues nos hizo traer de Grecia muchas cosas … a todo Archimedes, mucho de Herón …” Una de les seves fonts era Solimà el Magnífic que, agraït per haver-li tornat un captiu, li va regalar “seis caxas de libros.” Foscarini, a Della letteratura Veneziana diu que Mendoza va treure d’altres llibres grecs de l’actual Grècia, amb el permís de Solimà. Males llengües insinuen, a més, que es va quedar alguns llibres de la biblioteca marciana, tot i que, posteriorment, revisant les entrades i sortides de llibres dels registres de la biblioteca, això va quedar totalment desmentit (a més, hi havia un Breu apostòl·lic que excomunicava els posseïdors il·legitims de llibres del cardenal Bessarió¹). Alguns dels llibres importants que havia donat Mendoza van ser destruïts en l’incendi que va sofrir la biblioteca d’El Escorial el 1671, causat per un llamp.

1. A la caiguda de Constantinoble, el 1453, molts grecs de l’orient es van exiliar a Itàlia, i amb ells molt del que quedava de la cultura grega antiga. Aquesta fugida va ser essencial pel renaixement italià de les ciències i les lletres. Bessarió, el patriarca llatí de Constantinoble, és un d’aquests exiliats, un dels més il·lustres. La seva biblioteca, una de les principals del món en textos grecs, va passar gairebé completa a la marciana. [↑]

No ens ha arribat cap obra significativa de la matemàtica grega anterior als Elements d’Euclides (s. iii a de C), exceptuant un petit tractat sobre l’esfera d’Autòlic de Pitane, autor mig segle anterior a Euclides. De la doctrina de Pitàgores, el gran mite de la matemàtica grega, només en queden restes de segona mà, més nombroses com més ens allunyem del mític fundador de la secta pitagòrica i, per tant, en general, poc fiables. Tot això, i la falta de testimonis directes o indirectes de la influència d’altres civilitzacions en la matemàtica grega, ha fet pensar a alguns historiadors que aquesta sorgeix pràcticament ex nihilo i gairebé, com Atenea del cap de Zeus, totalment formada i armada.

Malgrat que sembli una qüestió de fe, d’altres historiadors han pensat que no és possible que hagi sorgit el pensament matemàtic grec sense cap influència exterior remarcable. L’obstacle fonamental que han de salvar és, precisament, la falta de documentació que acrediti aquesta influència. Hi ha, però, formes indirectes de intuir-les, a partir dels temes, o nuclis de coneixement (en grec, μάθημα), que tracta la matemàtica grega més antiga. Sembla que són fonamentalment tres:

1. La geometria que es desenvolupà a la Jònia, basada en figures inspirades en l’observació astronòmica. La convicció geomètrico-estètica en la forma esfèrica de l’univers, i els conceptes que l’acompanyen, la recta (com a direcció), el cercle i l’angle, són el seu origen. Aquest nucli és purament, o fonamentalment, grec.
2. El concepte de nombre, que parteix de les nocions numèriques comunes, però que pretén classificar i estudiar les propietats dels diversos nombres. La influència egípcia en aquest μάθημα sembla evident. Posteriorment, neix l’anomenada aritmo-geometria (és a dir, la utilització de “fitxes” geomètricament distribuïdes a l’espai, creant quadrats, triangles, …) que pretén evitar el sistema de numeració grec, poc apropiat per l’estudi “teòric” dels nombres. El pitagorisme veurà en aquesta aritmo-geometria un model de la realitat física.
3. El tercer μάθημα es desenvolupa a l’entorn de l’operació de mesura de les grandàries espacials. El tractament grec és purament geomètric, cosa que amaga el seu possible origen babilònic; en qualsevol cas, el tractament que se’n fa, per exemple al llibre II dels Elements d’Euclides, mostra un paral·lelisme estructural difícilment atzarós, tot i que el tractament babiloni sigui, per dir-ho d’alguna manera, “algebraic” i no geomètric.

Els grecs, i més concretament els pitagòrics, aconseguiren amalgamar aquests tres μάθηματα aïllats per donar lloc al que es coneixerà com a matemàtica grega¹ . En aquest punt, precisament, rau la diferència de la matemàtica grega, com a mínim en un primer moment. Heràclit sembla referir-se a això, quan en el fragment 40 diu, referint-se a Pitàgoras i a d’altres: πολυμαθίη νόον (ἔχειν) οὐ διδάσκει, és a dir, la polimathia (el coneixement de moltes coses) no ensenya a pensar² . És clar el significat si entenem que Pitàgores recull els diferents μάθηματα (que Heràclit caracteritza com a πολυμαθίη, paraules amb la mateixa arrel), i els cohesiona i amalgama per a iniciar una altra forma de pensar-los conjuntament.

De fet, hauríem de dir, la manera grega de veure’ls, perquè el que caracteritza la unificació dels μάθηματα és el θεωρεῖν, és a dir, la teoria, però en el sentit originari de “contemplació”³. La forma de comprendre els μάθηματα és contemplant-los gairebé físicament i, per això, la presentació de la matemàtica grega als seus inicis és pròpiament geomètrica. Dit d’una altra manera, qualsevol afirmació matemàtica ha de poder visualitzar-se en un resultat representable en un diagrama.

Més tard, en Euclides ja és evident, aquesta visualització dels resultats ha perdut la seva categoria demostrativa, i s’ha imposat una altra novetat posterior de la matemàtica grega: el tractament teòric (ara ja en el sentit modern i ideal) dels continguts, deixant la representació visual com a mera font d’intuïcions matemàtiques i comprovacions pràctiques. Aquesta és, però, una altra història, la de la crisi de la matemàtica “visual” després de la descoberta dels incommensurables.

1. Segueixo sense trobar cap autor que recolzi la proposta que Gregorio Luri em feia fa un temps, a partir d’un article, en el cas concret del terme mathematika. Tot i que la discussió filològica sembla raonable sobre el verb manthanein, del que deriva mathematikos i mathematika, sense altres indicis em sembla una mera hipòtesi. En qualsevol cas, aquest origen etimològic de manthanein no deixaria de formar part d’una prehistòria de les matemàtiques [↑]
2. Frase que, d’altra banda, hauria de ser una divisa en els temps d’internet. [↑]
3. La paraula “teatre” té la mateixa arrel que la paraula “teoria”. De fet, crec que Aristòtil diu al Polític que la manera del filòsof d’estar-se al món ha de ser com la de l’espectador d’un teatre, és a dir, per dir-ho d’alguna manera, “teoritzant”, o sigui, “mirant”. [↑]

Qualsevol text publicat prové, en general, d’un únic text original, que se suposa sortit de les mans de l’autor. Quan tractem de textos antics grecs, aquest text s’acostuma a anomenar arquetip¹ . Malauradament, gairebé mai es pot arribar a aquest arquetip, sinó que s’arriba, com a molt, a textos que arriben fins el segle vii-viii. En el cas dels textos d’Arquimedes, els manuscrits bàsics són tres. En primer lloc, un d’anomenat A, del segle ix. El 1269, el dominic Guillem van Moerbeke va fer una traducció al llatí d’aquest manuscrit que també inclou parts que pertanyen un altre manuscrit que tampoc no ha sobreviscut, i que s’ha anomenat B. Ara bé, com la traducció llatina sembla feta paraula per paraula, la traducció de Moerbeke també es pren com un manuscrit original de la tradició, amb la lletra B.

El tercer manuscrit, és clar, es designa amb la lletra C i sembla ser del s. x. La seva història és molt més interessant i rocambolesca; va ser descobert ara fa 101 ans al monestir del Sant Sepulcre de Jerusalem. Heiberg, un filòleg i matemàtic danès, segurament el més important editor de textos matemàtics grecs que mai hagi existit, va saber de la descoberta d’un text matemàtic antic, i es va dirigir a Constantinoble per a conèixer-lo. El manuscrit era un palimpsest, és a dir, un text amagat sota un altre text posterior; antigament, el pergamí era molt car, i llibres que no es consideraven importants o que ja ningú no sabia llegir, es rascaven amb la finalitat de reutilitzar el pergamí per a escriure un nou llibre. En aquest cas, al damunt del text arquimedià s’havia escrit un Eukhologium, un llibre d’oracions. La lectura de Heiberg va ser, per tant, difícil i provisional (i pel que sabem ara, prodigiosa, perquè pràcticament no s’aprecia res en moltes de les pàgines). Després de fer-la, va fer l’edició de l’obra completa d’Arquimedes a la Teubner, entre 1910 i 1915, edició que encara és l’edició de referència, utilitzant tots els manuscrits coneguts² .

Poc després que Heiberg tingués el manuscrit entre les seves mans, va desaparèixer de nou, entre les convulsions de les guerres mundials i la caiguda de l’imperi turc. No va ser fins el 1998 que un milionari anònim va aconseguir comprar de nou el manuscrit per 2 milions de dòlars en una subhasta a Christie’s. Va cedir el seu estudi al Museu d’art Walters de Baltimore, que va cridar al màxim especialista en Arquimedes, Reviel Netz³, i a d’altres primeres espases de la paleografia (entre els quals, Nigel Wilson, que als qui han estudiat filologia sonarà pel seu ja clàssic Copistas y filólogos), per a que comencessin de nou l’estudi d’aquest document.

Cap a l’any 2000, a l’equip filològic es va afegir un equip tècnic per tal d’aplicar les noves tecnologies a l’estudi del manuscrit. La imatge que encapçala aquest blog, per exemple, és una imatge tractada d’un dels fulls del palimpsest: el text vertical en negreta és del llibre d’oracions, mentre que el text horitzontal en vermell és el text d’Arquimedes, que conté també un diagrama (la part més visible del qual és una circumferència)⁴ .

Aquest manuscrit C no només és una curiositat, sinó que conté una obra essencial (de fet són dues, però l’altra no és tan important) que no s’ha conservat en cap altre manuscrit. El seu títol té reminiscències cartesianes, El mètode, en el qual Arquimedes explica com s’ho ha fet per arribar als resultats que ha assolit. Arquimedes hi presenta idees que no es van tornar a utilitzar fins dos mil anys després, de la mà de Leibniz i Newton, entre d’altres qüestions perquè aquesta obra estava perduda, i la resta tampoc van despertar gaire interès.

No acaba aquí la història del palimpsest: el 2002 es va descobrir que el manuscrit també contenia un text únic d’un polític atenenc del segle iv, Hipèrides. Avui, a més, el mite d’aquesta obra acaba d’augmentar una mica més: segons la BBC, els investigadors que estudien el manuscrit, han descobert que sota l’obra d’Arquimedes hi ha un text d’un dels comentador principals d’Aristòtil, Alexandre d’Afrodisias (s. ii-iii, que tracta sobre les categories, i que es considerava perdut.

En definitiva, en aquest manuscrit rebotit de saber amagat hi trobem un text polític, un de filosòfic, un de matemàtic, tot grec, embolcallat en un inofensiu llibre de pregàries. Alguna metàfora millor per a la tradició occidental?⁵

1. De fet, no és ben bé aquest l’arquetip, sinó el text establert pels filòlegs alexandrins, perquè són els primers que van tractar els textos grecs de manera que en podríem qualificar de filològica i que, generalment, és el text més antic al qual podem tenir accés. [↑]
2. Els manuscrits grecs de l’Escorial que vaig veure en la meva visita provenen tots de l’A i suposo que la còpia llatina de què disposo també, tot i que és una de les coses que encara he de comprovar. [↑]
3. Que ara mateix està fent una nova traducció a l’anglès de l’obra completa d’Arquimedes, introduint les noves descobertes d’aquest manuscrit. [↑]
4. Més imatges tractades i no tractades del palimpsest es van penjant regularment en aquesta pàgina. Observeu com el copyright és del propietari del manuscrit, sense citar-ne el nom, perquè no és públic. [↑]
5. Si teniu l’emule, us poden interessar aquests dos (1 i 2) reportatges sobre el palimpsest. [↑]

En la traducció de textos matemàtics grecs, un dels principals problemes és el de mantenir, o no, la literalitat del text. Certament, aquest és un problema general en la traducció, però s’agreuja en el cas dels textos matemàtics, perquè, en primer lloc, són textos literàriament molt eixuts¹, normalment dissenyats en dues parts bàsiques: una introducció on hi ha el que anomenem definicions i, de vegades, els postulats, i una altra part on hi ha els resultats. En cada resultat, es pot distingir, bàsicament, l’enunciat i la seva demostració.

Però, ni els objectes de les definicions cobreixen tots els objectes que apareixen en els resultats, ni tampoc es corresponen exactament als nostres. Posem per cas: el concepte de recta grec, és proper al nostre concepte de segment, perquè els grecs, no conceben un recta “infinita”, tal com són les nostres rectes. Per tant, quan apareix recta ² en grec, què hem de dir, segment? recta? en el primer cas perdem la literalitat (el text diu clarament recta), mentre que en el segon podem introduir adherències no desitjades al significat estricte de “recta.”

Aquest és, però, el més petit dels problemes de la traducció dels textos matemàtics grecs. Si la denominació dels objectes matemàtics no és equivalent, en molts casos tampoc no tenim un objecte de la matemàtica actual que reculli les característiques de l’objecte grec. I el que complica més el tema: la teoria abstracta que els relaciona, i que es desenvolupa en el text on es presenten els resultats, no encaixa massa amb la perspectiva moderna.

És curiós que aquest fet, però, no es va fer patent fins el 1975, quan un historiador, matemàtic i filòleg romanès, Sabetai Unguru, va escriure un article intitulat, amb certa mala bava, “On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics.” Venia a dir que, fins el moment, els historiadors de la matemàtica antiga havien actuat més com a matemàtics que com a historiadors, cosa que havia donat una perspectiva errònia i ahistòrica de la seva evolució. Va començar una batalla dura però incruenta entre historiadors (que acostumen a ser també els traductors), que, molt més suavitzada, continua fins avui.

En el centre del debat, Unguru hi va posar l’anomenada “àlgebra geomètrica.” Per fer-ho breu, l’àlgebra permet representar nombres o “quantitats” a partir de símbols. Per exemple, si volem escriure: “el doble d’una quantitat més 4″, posarem $2x+4$³ . La $x$ és la quantitat desconeguda. Aquesta forma d’expressar els nombres o les “quantitats” simplifica molt l’escriptura i la lectura de textos matemàtics. Si, per exemple, volem dir “una quantitat elevada al quadrat multiplicat tot per tres, menys una altra quantitat elevada al cub, menys quatre”, aquest text feixug es pot substituir simplement per: $3a^2-b^3-4$, on $a$ és la primera quantitat, i $b$ la segona quantitat.

Fins el s. xvi això no va ser habitual i, de fet, qui va “inventar-se” l’àlgebra va ser un matemàtic àrab, Al-Khwarismi, al s. ix.

Els grecs, per descomptat, mai van utilitzar l’àlgebra, és a dir, mai van simplificar els seus raonaments matemàtics amb l’ajut de símbols per a obtenir fórmules. Ara bé, per exemple, al llibre II dels Elements d’Euclides, sembla que es descriuen propietats d’objectes geomètrics, molt semblants a les que s’usen en l’àlgebra. Així, per exemple, si tenim un quadrat amb un costat que mesura $c$, quan el text parla de l’àrea del quadrat, ho podem interpretar com $c^2$, que és l’àrea del quadrat. Si tenim un rectangle, amb costats $a$ i $b$, quan es parla de l’àrea del rectangle, ho podem interpretar com el producte $ab$. És a dir, segons els qui defensen l’”àlgebra geomètrica”, els grecs estarien fent àlgebra, sota una disfressa geomètrica. Així, per exemple, la proposició 5 del llibre II dels Elements d’Euclides, que diu, més o menys i simplificant una mica:

Si una recta es talla en segments iguals i desiguals, el rectangle de costats els segments desiguals, juntament amb el quadrat de costat la recta entre els punts de tall, és igual al quadrat de costat la meitat que el primer quadrat.

En llenguatge algebraic es pot transformar, essencialment, en la solució de l’equació $ax-x^2=b^2$.

La pregunta és: és legitim llegir els textos grecs a partir de recursos que van aparèixer segles després? no s’està falsejant el seu contingut, malgrat que, en molts casos, la forma grega de raonar i la seva imatge “algebraica” siguin essencialment equivalents i donin resultats equiparables?

1. Només cal comparar les gairebé 700 paraules diferents (evidentment, sense comptar les repeticions, declinacions, conjugacions, etc) que surten en tot Els Elements d’Euclides, amb les 8214 paraules diferents que apareixen a l’Odissea d’Homer, totes dues obres composades de 13 llibres. [↑]
2. S’ha de tenir en compte, a més, que recta no és més que una nominalització de l’adjectiu recta que acompanya la paraula línia. En grec, és ἣ εὑθεῖα γραμμή, és a dir, la línia recta, tot i que, normalment, s’abreuja en ἣ εὑθεῖα, és a dir, la recta, tal com fem nosaltres. Bé, no crec que sigui exactament igual com fem nosaltres, però ara no filaré tan prim. [↑]
3. Per a veure els símbols matemàtics que escriuré a partir d’ara, heu d’instalar-vos aquest petit programet si useu Explorer, instal·lar aquestes fonts si useu Mozilla Firefox (seguint aquestes senzilles instruccions) i si useu Linux o Mac, heu d’instal·lar-vos les fonts que hi diu aquí, a la columna de la dreta. Si teniu cap problema amb aquests elements, us agrairia que m’ho digueu. [↑]

La ciència té actualment una obsessió per l’estandardització formal. Ara mateix, qualsevol cosa que escriguis en un idioma diferent de l’anglès té molt poques possibilitats de sobresortir, independentment del valor del seu contingut. Això no passa només entre llengües, sinó entre dialectes. Dintre d’una mateixa comunitat lingüística i en àmbits d’alta volada intel·lectual, l’expressió oral, i ja no dic l’escrita, en un “dialecte” allunyat de l’estàndard és molt difícil; sembla haver-hi una barrera psicològica infranquejable i una curiosa concepció de les bones maneres¹ .

Arquimedes no tenia aquests problemes dialectals. Tot i que, segons diuen, va estudiar a Egipte, segurament, en una llengua grega estàndard, l’àtic o, potser, una la seva variant internacional, la koiné, va escriure els seus tractats en el seu dialecte local, el dòric de Siracusa.

Una de les seves frases més conegudes, “doneu-me un punt de suport i mouré la terra” (en la versió que dóna un autor del s. iv, Pappus) té d’altres versions. Simplici, un autor del segle vi, per exemple, diu, de forma més expeditiva: πᾶ βῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν, és a dir, “on un suport? i mouré la terra”. Tzetzes, però, un filòleg del segle xii, canvia lleugerament aquesta frase i, entre d’altres coses, l’escriu en dòric: πᾶ βῶ, καὶ χαριστίωνι τὰν γὰν κινήσω πάσαν, és a dir, “on un suport? i mouré tota la terra amb un charistion² “. Per exemple, l’alfa final dels femenins és característica del dòric, enfront de l’eta àtica.

Aquest fet no és merament anecdòtic, com ara explicaré. Els treballs d’Arquimedes, escrits al s. iii a. de C, van tenir molta nomenada cap al segle vi d. C a Bizanzi, entre un grup bàsicament d’arquitectes (entre els quals hi ha els qui van construir Santa Sofia). No només els interessava la part pràctica dels treballs d’Arquimedes, i per això van estudiar diversos manuscrits del siracusà (cal dir que sembla que els més senzills). Aquests manuscrits es poden detectar perquè estan traduïts a la forma àtica-koiné, que era ja la comuna a tota l’àrea de parla grega en aquells moments. La resta d’obres van continuar en el dialecte dòric original.

1. Recordo que la meua dona va anar a un congrés al País Valencià; tothom parlava entre ells en català, però a l’hora de fer les exposicions, els qui no utilitzaven el català estàndard, parlaven directament en castellà. Evidentment, aquest cas té d’altres motivacions, que no venen ara al cas. [↑]
2. Una màquina inventada pel propi Arquimedes. [↑]

És molt comú associar Plató a la promoció dels estudis matemàtics. Un dels seus diàlegs, el Teetet, està dedicat a un matemàtic. Al llarg de la seva obra, també apareixen moltes reflexions de tipus matemàtic. Potser un dels mites més estesos en aquest sentit és l’existència d’una inscripció al portal de l’acadèmia platònica, Ἀγεομέτρητος μηδεὶς εἰσίτω, és a dir, “que no entri ningú que no sàpiga geometria”, en la traducció habitual.

En un article del 1968, H. D. Saffrey (Ἀγεομέτρητος μηδεὶς εἰσίτω. Une inscription legendaire) explica que la font més antiga de la sentència és un escoli sobre un text d’Eli Arístides, segurament de Sópatros, un rètor atenés del s. iv de la nostra era. Hi ha d’altres testimonis posteriors; el més curiós, però, és que no tots coincideixen en la seva interpretació. Ara bé, la més estesa és que el significat de la sentència es centrava en el significat ocult de la paraula Ἀγεομέτητος (no geòmetra), lligat més a una disposició moral (ben equilibrat i just) que a la possessió d’una tècnica determinada. De fet, l’escoli complet de Sópatros diu:

εἰ δὲ γεωμετρία] ἐπεγέγραπτω δὲ ἔμπροσθεν τῆς διατριβῆς τοῦ Πλάτονος ὅτι Ἀγεομέτρητος μηδεὶς εἰσίτω. ἀντὶ ἀνίσος καὶ ἄδικος΄ ἡ γὰρ γεωμετρία τὴν ἰσότητα καὶ τὴν δικαιοσύνην ζητεῖ

és a dir,

Estava escrit al frontal de l’escola de Plató que “que no entri ningú que no sigui geòmetra”, en lloc d’equilibrat i just; car la geometria cerca la igualtat i la justícia.

Aquesta és la interpretació més comuna entre la resta de fonts de la sentència. Així, suposant certa l’existència d’aquesta inscripció, s’hauria de lligar a un significat ocult i no literal: per a entrar a l’Acadèmia cal una disposició moral determinada, i no exactament el coneixement d’unes tècniques matemàtiques concretes. Però Saffrey, comparant-la amb d’altres sentències semblants de tipus religiós de l’època hel.lenística, considera que la sentència una ficció literària molt comuna a l’època (i, per això, també trobem tradicions semblants sobre el Peripatos aristotè.lic i el Jardí epicuri, tot i que no perviscut tant i tan intensament).

Les obres d’Arquimedes que ens han arribat eren treballs d’investigació que l’autor enviava a estudiosos d’Alexandria, el centre d’investigació més gran de l’època (s. iii a. de C.)¹ . Tenien el format d’una carta, encapçalada per una salutació, un breu resum d’allò què volia parlar i, finalment, el desenvolupament rigorós de l’obra.

Sobre l’esfera i el cilindre, l’obra més coneguda de l’autor siracusà, va dirigida a Dositeu, membre del Museu alexandrí, tot i que no només és aquest el seu públic. De fet, no és precisament Dositeu amb qui pensava en escriure aquesta obreta. En principi, sembla que no es dirigeix a un lector concret: “Podran ara examinar-les² aquells que n’estiguin capacitats³ “, però en un atac de sinceritat, que mostra el caràcter orgullós de l’autor, Arquimedes reconeix que

certament, les hauria d’haver publicat en vida de Conó ja que, d’alguna manera, el considerava el més capacitat⁴ per a copsar-les i per a fer-ne un judici apropiat

la desconsideració per la resta de mortals, i especialment pel destinatari de la carta, es transforma en certa condescendència:

però considerant que el correcte és compartir-les amb els familiaritzats⁵ amb les matemàtiques, t’he enviat les demostracions que vaig redactar, les quals podran ser revisades per aquells qui es dediquen⁶ a la matemàtica.

Mira, ve a dir, jo no hi trobo al·licient a publicar cap descoberta meua després de la mort de Conó, perquè ningú no ho sabrà apreciar … ara bé, per responsabilitat, ho he de fer, perquè els simples mortals puguin compartir tan sublims pensaments.

Per cert, com molts d’altres personatges de l’antiguitat, ningú no sap qui redimonis era Conó; sic transit gloria mundi.

1. A diferència, per exemple, dels Elements d’Euclides, que és una mena de manual de matemàtica bàsica (de vegades, no tant) escrit una generació abans d’Arquimedes. [↑]
2. Les proposicions, és a dir, els resultats que Arquimedes ha descobert. [↑]
3. δυνησομένοις diu l’original. [↑]
4. που μἀλιστα ἂν δύνασθαι, a l’original. [↑]
5. τοῑς οἰκείοις, paraula de la mateixa arrel que la que significa “casa”. La nostra paraula “economia” té la mateixa arrel. [↑]
6. ἀποστέλλομέν, arrel de la que deriva la paraula “apòstol”. Irònicament, podria traduir “els qui fan apostolat de les matemàtiques.” [↑]